记录时间：2022-08-06 15:25

学习内容

数学

凑微分法

凑微分法的基本思想是转化微分。

$$g'(x)dx = \frac{d(g(x))}{dx} * dx = d(g(x))$$

这也就是拿出一部分放到后面去的想法。

其常与基本积分公式和凑微分公式一起使用。

需要进一步研究，重新计算的部分：

值得注意的思路：

$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^3}}}$ 对于该题，基本积分公式内只有一个$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$ 比较接近。4是2的平方，$x^3$ 显然也可以是$x^\frac{3}{2}$ 的平方。

需要重新列的题目,注意包含思路：化简时下面重而上面轻的处理方式：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}}$$

关于如何分析某些定积分：（2022）

涉及知识：

1. 分母无法有理化（分母如果能有理化应该怎么做？）
2. 转化为$\int{\frac{1}{u}}$
3. 建议：对下面先求导探探路

$$\int_{0}^{1}{\frac{2x+3}{x^{2}-x+1}}$$

另外一个，同样涉及凑谁的微分的问题：

$$\int{\frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}}$$

P117 换元法

原理：逆练凑微分法

将$\int{f(x)}dx$中的x换为g(u)，再将$dg(u)$化为$g'(u)du$,此时关于u的函数会较容易计算。

需要注意的条目：

单调可导对应前面的什么位置？

• 我们改变了换元的条目，最后需要把u换回到x去，这要求g(u)单调可导

常用的换元方式

• 三角函数代换：最常考

代换的目的是凑出$u^2$。 而对于范围，不定积分只需要一段单调区间，所以找最好求的那部分（即上图部分）

• 恒等变形后做三角代换：用于处理多项式。将多项式一部分看成$x^2$的方式。

• 根式代换：解题利器，常用（公式9即使用该方案）
  

• 倒代换：

用在分母比分子幂次高2次以及以上时，令$x=\frac{1}{t}$

• 复杂函数的直接代换
  
  如果反对幂指三中的反和对在做乘法，且乘法对应为$e^{ax}$或多项式，应当优先考虑分部积分法。

分部积分法

分部积分法的原理为逆练 相乘复合函数 导数。
利用$(uv)'=u'v+uv'$，可以得出：

$$\frac{d(uv)}{dx} = \frac{du}{dx}*v + \frac{dv}{dx}*u$$

消去dx得到：

$$d(uv)=du * v + dv * u$$

两侧积分，得：

$$uv=\int{vdu} + \int{udv}$$

于是得到公式$\int{udv}=uv - \int{vdu}$

对于该公式，往往是 前面的积分较为困难，而后面的积分较为简单。
选取时，一般要求
反对幂指三->越靠右的越容易选为v，靠左的选为u.